Het is een misvatting dat er voor het kunnen oplossen ook maar enige rekenkundige kennis vereist is.
Niets is minder waar. De cijfers, die in een Sudoku puzzel worden gebruikt hebben namelijk alleen maar een symbolische waarde.
Om bijvoorbeeld een standaard 9 bij 9 Sudoku te kunnen oplossen zijn er 9 verschillende symbolen nodig. Cijfers zijn gemakkelijk te gebruiken, omdat we in staat zijn deze negen cijfers in hun natuurlijke volgorde 1 2 3 4 5 6 7 8 9 goed te onthouden, en dat onze cijfers internationaal worden gebruikt (ook in China).
Er worden ook Sudoku’s gemaakt met andere symbolen, zoals letters, leestekens, muzieknoten hiëroglyfen en tekens van de dierenriem (zie afbeelding):
De standaard 9 bij 9 Sudoku
Het oplossen van een standaard 9 bij 9 Sudoku is in principe niet zo moeilijk.
De enige kennis en vaardigheden die je nodig hebt is logisch kunnen nadenken en goed kunnen redeneren.
Een standaard 9 bij 9 Sudoku bevat negen verschillende cijfers, die precies eenmaal aanwezig moeten zijn in elke rij, elke kolom en elk blok van 3 bij 3 velden.
De moeilijkheidsgraad van een Sudoku wordt voornamelijk bepaald door een combinatie van de volgende drie factoren:
Het aantal gegeven cijfers
Er is wetenschappelijk aangetoond dat er minimaal 17 gegeven cijfers nodig zijn om de unieke oplossing van een standaard Sudoku logisch te kunnen afleiden.
Deze 17 cijfers zijn niet willekeurig in het Sudoku rooster geplaatst maar maken deel uit van deze unieke oplossing. Dat geldt voor alle gegeven cijfers om een Sudoku met een unieke oplossing te krijgen.
Het is een ongeschreven regel om niet meer dan 36 cijfers te geven voor een eenvoudig op te lossen Sudoku.
De gegeven cijfers zijn verkregen door stap voor stap cijfers van de unieke oplossing zodanig te verwijderen dat er na de laatste verwijdering met het dan verkregen aantal gegeven cijfers nog steeds een unieke oplossing logisch kan worden afgeleid.
Hoe minder cijfers er gegeven worden hoe moeilijker het wordt om de unieke oplossing van een standaard Sudoku logisch te kunnen afleiden.
De verdeling van de gegeven cijfers over het Sudoku rooster
De verdeling van de gegeven cijfers over het Sudoku rooster is ook één van de bepalende factoren van het moeilijkheidsniveau.
Bij de verdeling kan nog een onderscheid worden gemaakt tussen een symmetrische verdeling en een niet-symmetrische verdeling van de gegeven cijfers.
Op zich maakt het voor het moeilijkheidsniveau niet uit welke verdeling je maakt. Een Sudoku met symmetrisch verdeelde cijfers toont echter mooier.
Het aantal exemplaren van een bepaald cijfer, dat gegeven is
Een opgeloste Sudoku bevat negen maal het cijfer 1, negen maal het cijfer 2, enz.
Hoe hoger het aantal keren is dat een bepaald cijfer bij de gegeven cijfers aanwezig is hoe groter de kans is dat het aantal nog ontbrekende exemplaren van dit cijfer logisch kan worden afgeleid.
Als er al acht van de negen exemplaren van een bepaald gegeven cijfer aanwezig zijn staat de plaats van het negende exemplaar in het Sudoku rooster vast.
Als er 5 – 7 exemplaren gegeven zijn kunnen er vaak 1 – 2 exemplaren direct logisch worden afgeleid, en de overige 2 – 3 zijn afhankelijk van het aantal andere gegeven cijfers.
Als er 2 – 4 exemplaren gegeven zijn kan meestal slechts één exemplaar worden afgeleid, maar dat is zeer afhankelijk van de overige gegeven cijfers.
De overige exemplaren kunnen worden afgeleid naarmate de oplossing van de Sudoku vordert.
Bij 17 gegeven cijfers komt elk afzonderlijk cijfer gemiddeld tweemaal voor, en bij 36 gegeven cijfers is dit gemiddeld 4 keer.
De uitdagende Sudoku variatie
Extra factoren die de moeilijkheidsgraad van een uitdagende Sudoku variatie in belangrijke mate bepalen zijn:
Het aantal extra groepen
Door het aantal groepen uit te breiden worden extra beperkingen toegevoegd aan het oplossen van de Sudoku.
Met meer groepen kan je voorts minder cijfers geven om de unieke oplossing van een standaard Sudoku logisch te kunnen afleiden.
In principe geldt: hoe meer extra groepen er zijn hoe moeilijker de unieke oplossing van deze Sudoku logisch is af te leiden.
De verspreiding van de velden van een extra groep over de diverse blokken van een Sudoku
Als de velden van een extra groep over meer dan één blok verspreid zijn moet je ook rekening houden met de al aanwezige cijfers in al deze blokken. Je moet letterlijk out-of-the-box denken om verder te komen om de unieke oplossing van de Sudoku logisch af te leiden.
Het aantal verschillende oplossingen bij hetzelfde aantal gegeven cijfers van de Sudoku, maar dan zonder deze extra blokken
Zonder de extra blokken heeft de Sudoku bij het aantal gegeven cijfers meer dan één oplossing. De eigenschappen van de extra blokken zijn namelijk nodig om de unieke oplossing logisch te kunnen afleiden. Als je zonder deze extra blokken toch een unieke oplossing krijgt hebben de extra blokken geen toegevoegde waarde voor de uitdagende Sudoku variatie.
In principe geldt: hoe meer verschillende oplossingen er zijn hoe moeilijker het is om de unieke oplossing van de Sudoku logisch af te leiden.
Het aantal keren dat je gebruik moet maken van de eigenschap(pen) van de extra groep(en)
Een uitdagende Sudoku variatie is zodanig ontworpen dat er regelmatig een wisselwerking is tussen de logica van de Sudoku en de logica van de extra groep(en) om de unieke oplossing logisch te kunne afleiden.
In principe geldt: hoe vaker je gebruik moet maken van de eigenschappen van de extra groepen hoe moeilijker het is om de unieke oplossing logisch af te leiden.
De meeste van mijn uitdagende Sudoku variaties bevatten een mogelijke stap-voor-stap aanpak om de unieke oplossing logisch af te leiden.
In deze aanpak wordt steeds vermeld wanneer je niet meer met de gewone Sudoku oplostechnieken een nieuw cijfer logisch kunt afleiden, zodat de extra groep(en) je verder moet(en) gaan helpen.
De Sudoku is een vorm van een Latijns vierkant. In een Latijns vierkant bevat elke rij en elke kolom de verschillende cijfers precies eenmaal. Berekend kan worden dat er voor een 9 bij 9 Latijns vierkant zijn er 6,5 x 1029 Sudoku’s, die aan deze voorwaarden voldoen.
Dit is zo’n groot getal dat, als we zouden kunnen beschikken over een supercomputer, die per seconde 1 miljoen verschillende Latijnse vierkanten zou kunnen ontwerpen, deze computer er, zonder onderbrekingen, 1020 jaar over zou doen om al deze Latijnse vierkanten te ontwerpen. Een onmogelijke opgave dus!
De wiskundige onderzoekers Felgenhauer en Jarvis hebben berekend dat door als extra beperking in te bouwen dat ook elk blok van 3 bij 3 velden de cijfers 1 t.e.m. 9 precies eenmaal moeten bevatten, het aantal mogelijke verschillende Sudoku’s afneemt naar 6.670.903.752.021.072.936.960 = ongeveer 6,7 x 1021. Onze supercomputer zou er nog steeds ongeveer 1012 jaar voor nodig hebben om al deze verschillende Sudoku’s te maken.
Jarvis heeft samen Russell het aantal verschillende Sudoku’s teruggebracht naar 5.472.730.538 (ongeveer 5,5 miljard) door te stellen dat je dezelfde Sudoku krijgt als je deze om het middelste veld 90 graden, 180 graden of 270 graden draait. Ook als je de Sudoku spiegelt om de middelste kolom, de middelste rij en om de beide diagonalen krijg je volgens hen dezelfde Sudoku.
Maar ook ongeveer 5,5 miljard verschillende Sudoku’s blijft een groot aantal. Onze supercomputer zou er nu nog “slechts” ongeveer 175 jaar voor nodig hebben om al deze verschillende Sudoku’s te maken.
Uitgaande van één Sudoku is het mogelijk om een groot aantal puzzels te ontwerpen met een unieke oplossing. Als we bijv. één van de 81 cijfers weglaten hebben we al een puzzel met een unieke oplossing. Op deze manier zijn er al 81 verschillende puzzels te maken, uitgaande van de zelfde oplossing. Voor de Sudoku oplosser zijn dit natuurlijk geen uitdagende puzzels.
Een eenvoudige Sudoku wordt pas uitdagend als er maximaal 36 cijfers gegeven zijn.
Welke factoren de moeilijkheidsgraad van een Sudoku mede bepalen wordt beschreven bij de FAQ “Welke factoren bepalen o.a. de moeilijkheidsgraad van een Sudoku?”.
Het is niet precies vast te stellen hoeveel Sudoku puzzels er uit een Sudoku met een bepaalde oplossing kunnen worden ontworpen. Gesteld dat dit gemiddeld 1.000 puzzels per Sudoku zijn dan is het aantal puzzels met een unieke oplossing al 5.472.730.538 000 geworden. De ontwerpers van Sudoku’s kunnen dus voorlopig nog vooruit.
Van de meeste producten die ik maak kunt een voorbeeld gratis downloaden.
Een gratis product geeft u een goede indruk van wat het product inhoudt en bevat één of meer uitdagende Sudoku variaties om te op te lossen.
De volgende gratis producten zijn beschikbaar:
De AfhankelijkheidsDoku: 00 ADNL
De CalculoDoku: 00 CDNL
De CryptoDoku 00 CrDNL
De GeschiedenisDoku: 00 GDNL
De OneindigheidsDoku 00 ODNL
De PalindroomDoku: 00 PaDNL
De PuzzelstukjesDoku: 00 PuDNL
E-boek: 00 SBNL
De TetrisDoku: 00 TeDNL
De ToetsDoku: 00 ToDNL
Uitdagende Sudoku Variaties 00 USVNL
Ook bij de diverse cursussen zitten oefen Sudoku’s. Onderstaande extra oefen Sudoku’s kunt u als E-boek bestellen:
20 Oefen Sudoku’s bij de cursus “Hoe los ik een Sudoku op met de juiste hoeveelheid informatie?”: 02 OSNL
30 Oefen Sudoku’s bij de cursus “Hoe los ik een Sudoku op: voor Beginners, Gevorderden en Professionele spelers?”: 03 OSNL.
20 Oefen Sudoku’s bij de cursus “Hoe los ik een X-Sudoku op?”: 04 OSNL
Deze oefen Sudoku’s kosten € 2,50 – € 3,00, incl. BTW
Een magisch vierkant is een vierkant waarin een aantal gehele getallen staan die zo gerangschikt zijn (in kolommen en rijen) dat de som in elke rij, elke kolom en elke diagonaal steeds hetzelfde is.
Vroeger werden er magische krachten aan toe geschreven en werden ze veel gebruikt voor divinatie: het interpreteren van de wil van de goden.
Het oudst bekende magische vierkant is afkomstig van de Chinees Lo-Shu.
Dit is het 3 bij 3 vierkant met de getallen 1 t.e.m. 9, met als één van de acht mogelijkheden:
Dit magisch vierkant gebruik ik o.a. in mijn Uitdagende Educatieve Sudoku Variaties, waarvan de 9 bij 9 PalindroomDoku met 1 Palindroom van 17 velden, 1 optelgroep, 1 magisch vierkant en 1 spiraaltje een mooi voorbeeld is.
Je kunt ook 3 bij 3 magische vierkanten maken met andere getallen dan die van 1 t.e.m. 9.
Twee voorbeelden hiervan zijn de getallenreeksen 1, 2, 3, 7, 8, 9, 13, 14 en 15, en 47, 52, 56, 57, 61, 65, 66, 71 en 75.
Een magisch vierkant moet niet worden verward met een Latijs vierkant.
In een Latijns vierkant, voor het eerst zo genoemd door de Zwitserse wiskundige Euler omdat hij hierin Latijnse symbolen gebruikte, is alleen de voorwaarde dat elke rij en elke kolom de verschillende cijfers precies eenmaal bevatten.
Elke Sudoku is dus ook een vorm van een Latijns vierkant. Als de roostergrootte van een Sudoku de vermenigvuldiging is van twee getallen kan deze Sudoku worden opgedeeld in het aantal rechthoekige blokken van de roostergrootte, met als afmetingen de twee vermenigvuldigingsgetallen. Een dergelijke Sudoku krijgt dan als extra beperking mee dat elk blok ook precies de verschillende symbolen van de roostergrootte precies eenmaal moeten bevatten.
Zo heeft de standaard 9 bij 9 Sudoku 9 blokken van 3 bij 3 velden, de 10 bij 10 Sudoku 10 Sudoku 10 horizontale blokken van 5 bij 2 velden of 10 verticale blokken van 2 bij 5 velden.
De 12 bij 12 Sudoku kan 12 blokken hebben van 2 bij 6 of 6 bij 2 velden, of van 3 bij 4 of 4 bij 3 velden.
Een 9 bij 9 Sudoku, die tevens een magisch vierkant is, is de zogeheten X-Sudoku: ook de beide diagonalen moeten de cijfers 1 t.e.m. 9 bevatten.
Een voorbeeld van een opgeloste X-Sudoku is:
Ik heb de cursus gemaakt: “Hoe los ik een X-Sudoku op?”.
In deze cursus leert u begrijpen wat de invloed van de twee diagonalen is op de aanpak om de unieke oplossing van deze soort Sudoku logisch af te leiden.
Deze cursus bevat een aantal oefen X-Sudoku (variaties), elk met een mogelijke stap-voor-stap aanpak om de unieke oplossing logisch af te leiden.
Bij deze cursus hoort een E-boek met 20 oefen Sudoku (variaties), elk ook met een mogelijke gedeeltelijke stap-voor-stap aanpak.
De cursus kost € 7,50, incl. BTW en de oefen Sudoku’s € 2,50, incl. BTW
Wat is een magisch vierkant met verschillende getallen?
Een magisch vierkant met verschillende getallen is een vierkant waarin deze getallen zodanig moeten worden dat de som van de getallen in de velden van elke rij, elke kolom en elke diagonaal precies dezelfde is. Om deze reden wordt zo’n vierkant een magisch vierkant genoemd.
In het eenvoudigste 3 bij 3 magisch vierkant moeten de getallen 1 t.e.m. 9 op die wijze worden ingevuld.
Op welke manier kan je een begin vinden om het eenvoudigste 3 bij 3 magisch vierkant logisch op te lossen?
Om te beginnen moeten we eerst het nodige rekenwerk verrichten.
De som van de getallen 1 t.e.m. 9 is 45.
De eigenschap van dit magisch vierkant is dat de som van de getallen in elke rij (of in elke kolom) precies dezelfde is, evenals die van de diagonalen.
Er zijn drie rijen (of drie kolommen).
Dat betekent dat de som van de drie getallen in elke rij (of in elke kolom) precies 15 is. En dat betekent ook dat dit voor de beide diagonalen geldt.
Als je uit de getallen 1 t.e.m. 9 telkens 3 verschillende getallen moet kiezen die opgeteld 15 opleveren, dan heb je de volgende mogelijke combinaties:
1 + 5 + 9
1 + 6 + 8
2 + 4 + 9
2 + 5 + 8
2 + 6 + 7
3 + 4 + 8
3 + 5 + 7
4 + 5 + 6.
Dit zijn acht verschillende combinaties.
Bij elke combinatie zijn er zes mogelijkheden voor de volgorde van de optelling, bijv.:
1 + 5 + 9
1 + 9 + 5
5 + 1 + 9
5 + 9 + 1
9 + 1 + 5
9 + 5 + 1
Er zijn daarom achtenveertig mogelijkheden om met drie getallen uit de getallen 1 t.e.m. 9 een som = 15 te maken.
Uit deze achtenveertig mogelijkheden is weer een aantal combinaties te maken van negen verschillende getallen, waarbij aan de voorwaarde wordt voldaan dat de som van de getallen in de velden van elke rij precies 15 is, bijv.:
Figuur 1
De som van de getallen in de velden van elke kolom is in dit voorbeeld toevallig alleen voor de middelste kolom gelijk aan 15, en dit geldt ook toevallig voor de diagonaal van linksboven naar rechtsonder.
Hoe komen verder met het logisch oplossen van het eenvoudigste 3 bij 3 magisch vierkant?
Het moet mogelijk zijn om logisch af te leiden hoe je aan deze voorwaarde kunt voldoen voor elke rij, elke kolom en elke diagonaal.
Hiervoor gaan we de mogelijke combinaties verder analyseren door na te gaan hoe vaak de afzonderlijke getallen in de acht combinaties aanwezig zijn:
1 + 5 + 9
1 + 6 + 8
2 + 4 + 9
2 + 5 + 8
2 + 6 + 7
3 + 4 + 8
3 + 5 + 7
4 + 5 + 6.
Uit deze tabel kunnen we de volgende conclusies trekken:
- het getal 5 komt het meeste voor, namelijk vier keer;
- de even getallen 2, 4, 6, en 8 komen even vaak voor, namelijk drie keer;
- de overige oneven getallen 1, 3, 7, en 9 komen ook even vaak voor, namelijk twee keer.
Van de acht combinaties van drie verschillende getallen met een som = 15 zijn er vier met het getal 5 erin:
1 + 5 + 9
2 + 5 + 8
3 + 5 + 7
4 + 5 + 6.
Deze vier combinaties bevatten precies de negen verschillende getallen, met het getal 5 als middelste getal.
De enige mogelijkheid om in het 3 bij 3 magisch vierkant deze combinaties in te vullen is als getal 5 in het middelste veld komt te staan:
Figuur 2
We kunnen nu deze combinaties proberen in te vullen met het getal 5 als vaststaand getal, bijvoorbeeld:
Figuur 3
Voor de beide diagonalen wordt met elke ingevulde combinatie aan de voorwaarde voldaan.
De rijen en voor de kolommen zijn dat in dit voorbeeld alleen de middelste.
We moeten dus verder logisch afleiden waar de overige getallen kunnen komen te staan.
Uit de tabel hebben we ook de conclusie getrokken dat de even getallen driemaal aanwezig zijn in de acht combinaties.
Als een even getal in een hoekveld wordt geplaatst is het onderdeel van een rij, een kolom en een diagonaal.
Dit betekent dat de even getallen in de hoekvelden moeten komen en de overige oneven getallen in de overige velden.
Dit kunnen we als volgt weergeven:
Figuur 4
We kunnen een magisch vierkant nu geleidelijk invullen.
Als we beginnen met het getal 1 in het middelste veld van de bovenste rij krijgen we het volgende resultaat:
Figuur 5
Het getal 9 is dan ook meteen bekend.
De getallen 1 en 9 kunnen we verwijderen uit de middelste velden van de linker en de rechter kolom.
Er is nog een combinatie met het getal 1: 1 + 6 + 8.
De mogelijkheden zijn 6 1 8 en 8 1 6.
Als we de eerste mogelijkheid invullen ontstaat als resultaat:
Figuur 6
We kunnen dit magisch vierkant nu volledig invullen:
Figuur 7
Als de getallen 6 en 8 omgedraaid worden krijgen we een tweede magisch vierkant dat aan de voorwaarde voldoet:
Figuur 8
Voor elk andere oneven getal in het middelste veld van de bovenste rij zijn er ook twee verschillende magische vierkanten.
Er zijn in totaal acht magische vierkanten met de getallen 1 t.e.m. 9 die aan de voorwaarde voldoen.
Zijn er ook magische 3 bij 3 magische vierkanten met negen andere verschillende getallen dan de getallen 1 t.e.m. 9?
Er is een groot aantal 3 bij 3 magische vierkanten met negen andere verschillende getallen te ontwerpen.
De eenvoudigste zijn die magische vierkanten waarin bij elk getal 1 t.e.m. 9 hetzelfde getal wordt opgeteld of in mindering wordt gebracht, bijv. met het getal + 2 van figuur 8:
Figuur 9
De som van elke rij, elke kolom en elke diagonaal is nu precies 21 (= 15 + 3 x 2).
Ook door elk getal met hetzelfde getal te vermenigvuldigen levert een nieuw 3 bij 3 magisch vierkant met negen verschillende getallen, bijv. x 5 van figuur 8:
Figuur 10
De som van elke rij, elke kolom en elke diagonaal is precies 75 (= 5 x 15).
Maar ook met negen verschillende getallen, die geen relatie hebben met de getallen 1 t.e.m. 9, zijn er 3 bij 3 magische vierkanten te ontwerpen die aan de voorwaarde voldoen.
Bijvoorbeeld met de getallen 1 2 3 12 13 14 23 24 25:
Figuur 11
De som van elke rij, elke kolom en elke diagonaal is precies 39.
Of met de priemgetallen 1 7 13 31 37 43 61 63 67:
Figuur 12
De som van elke rij, elke kolom en elke diagonaal is nu precies 111.
Een ander 3 bij 3 magisch vierkant met de getallen 10 13 16 34 37 40 58 61 64, waarvan een som van elke rij, elke kolom en elke diagonaal ook precies 111 is, is:
Figuur 13
U kunt zelf proberen één van de acht 3 bij 3 magische vierkanten te ontwerpen met de volgende negen getallen:
2 3 4 24 25 26 46 47 48
Het paard in een schaakspel is beperkt in zijn bewegingen. Deze bestaat uit twee bewegingen of stappen. Als het op een veld staat, genaamd P0 , en er is ruimte voor dan mag het paard als eerste stap P1 één veld naar boven of één veld naar rechts of één veld naar beneden of één veld naar links bewegen. Vanuit een P1 veld heeft het paard als tweede stap P2 de keuze naar het veld schuin links of naar het veld schuin rechts, dus in totaal acht verschillende mogelijkheden (zie onderstaand plaatje):
Figuur 1
In een PaardenSprongDoku zijn de bewegingen beperkt. Deze kunnen namelijk alleen maar plaatsvinden in de acht buitenste velden van een blok van 3 bij 3 velden, bijvoorbeeld:
Figuur 2
Er zijn dus acht beginposities, elk met twee mogelijkheden voor de paardensprong. In totaal zijn er in de beginsituatie dan 16 paardensprongen mogelijk. Vanaf een positie P0 moeten in de PaardenSprongDoku worden doorgesprongen totdat alle acht buitenste velden zijn bezocht, bijvoorbeeld:
Figuur 3
Het middelste veld doet niet mee met deze paardensprongen. Een PaardenSprongDoku bevat in de acht buitenste velden acht verschillende letters, die met behulp van deze paardensprongen een betekenisvol woord vormen, bijvoorbeeld:
Figuur 4
De oplossing van deze PaardenSprongDoku is VISAREND.
De letter in het middelste veld kan echter wel bij het paardensprongwoord worden betrokken. Dan is deze letter de laatste letter van dit woord, bijvoorbeeld:
Figuur 5
De oplossing van deze PaardenSprongDoku is NACHTDIER.
Het blok van 3 bij 3 velden kan ook verspreid zijn over de hele Sudoku, bijvoorbeeld:
Figuur 6
De oplossing van deze PaardenSprongDoku is BOTERJUS.
Figuur 7
De oplossing van deze PaardenSprongDoku is GRONDMIST.
